Estudando
apostila de matemática
1 – Sistema de numeração cuja base é 10.
5 – Dois ângulos cuja soma resulta 180°.
7 – Ângulo com medida maior que 90º.
10 – Unidade de medida de ângulo.
12 – Unidade padrão de medida de capacidade.
14 – Cinquenta por cento.
16 – Polígono que possui 5 lados.
17 – Resultado de uma multiplicação.
19 – Triângulo que possui as medidas dos três lados iguais.
1 – Operação inversa da multiplicação.
2 – Ângulo com medida menor que 180º.
3 – Unidade fundamental de medida de comprimento.
4 – Diz-se de todo número natural que é divisível por 2.
6 – Duas ou mais frações que representam a mesma parte de um inteiro.
8 – Diz-se do número inteiro que sempre que dividido por dois deixa resto 1.
9 – Operação inversa da potenciação.
11 – Medida do contorno de uma figura plana
13 – Valor desconhecido de uma equação.
15 – Fração com numerador menor que o denominador.
18 – Medida de superfície.
Multirio
2
9
10
11
1
43
5
6
7
8
12
13
14
15
16
17
18
19
3
HORIZONTAIS VERTICAIS
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Um polígono com 12 lados recebe o nome de dodecágono.
Um polígono com 15 lados recebe o nome de pentadecágono.
Um polígono com 20 lados recebe o nome de icoságono.
O nome de um polígono é dado de acordo com o seu número de lados.
Polígonos são figuras fechadas, formadas por segmentos de reta. Os segmentos de retas que limitam os polígonos são chamados de lados.
Também designaremos por polígono uma região poligonal, isto é, uma região plana limitada por um polígono.
Polígonos regulares são aqueles que possuem os lados e os ângulos com medidas iguais.
Polígonos convexos quando seus ângulos são menores que 180º e seus vértices apontam para o exterior.
Polígonos não-convexos quando possuem um ângulo com medida maior que 180º.
Multirio
!!! FIQUE LIGADO
Região poligonalPolígono
DECÁGONO
Polígono Número de lados Nome do polígono Número de vértices 3 TRIÂNGULO 3
4
QUADRILÁTERO
PENTÁGONO 5
HEXÁGONO 6
HEPTÁGONO
OCTÓGONO
ENEÁGONO 9
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
4
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
D
A
C
B
a) Os vértices consecutivos a A são B e C. Ligando-os a A, temos os lados ____ e ____ .
Por isso, a única diagonal que se pode traçar, a partir do vértice A, é a que vai até o vértice ____ .
Temos a diagonal . AD
Os lados são os segmentos de reta: , , e .AB ACBD DC
1- Observe o polígono a seguir e complete.
Sei que A, B, C e D são os vértices desse polígono, mas o que é diagonal?
Diagonal é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono.
vértice
5
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
b) Os vértices consecutivos a B são os vértices ____ e ____. Ligando-os a B, temos os lados _____ e _____.
Então, para traçar a diagonal que parte de B, você deverá fazer um segmento de B até ____, formando a diagonal ____ .
B
A
D
C
2- Nas figuras abaixo, nomeie o polígono , represente seus lados, suas diagonais e seus vértices.
a)
POLÍGONO: _________________
Lados:_____,___,____,______
Diagonais _____,____________
Vértices ______________
POLÍGONO: _________________
Lados:___,____,____,_______
Diagonais ____,____________
Vértices ______________
6
b)
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- De cada vértice de um pentágono, podemos traçar apenas ______
diagonais.
O pentágono tem ______ vértices. Pode-se afirmar que ele tem 5 x 2
diagonais ?
Explique. _________________________________________________
__________________________________________________________
_________________________________________________________.
Vamos escolher um vértice em cada um dos polígonos. A seguir, desenhe as diagonais que puder traçar a partir desse vértice escolhido.
A
B
C
E
D
.
A notação de um segmento de
reta é dada pelas letras
maiúsculas que representam suas
extremidades, desenhando
uma barra acima delas, em
qualquer ordem.
Exemplo: e representam o
mesmo segmento.
Essas extremidades , A, B, C, D e
E, são os vértices do polígono.
AD
!!! FIQUE LIGADO
DA
7
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Polígono Número de vértices
Número de diagonais que partem de cada vértice
Número de diagonais de cada vértice X n° de vértices
TRIÂNGULO 3 3 X 0= 0
QUADRILÁTERO 4 X 1= 4
PENTÁGONO
HEXÁGONO
HEPTÁGONO
A tabela sugere que, se um polígono possui n vértices, o número de diagonais que
partem de cada vértice é n – 3, onde n é um número natural maior ou igual a 3.
Isso ficará mais claro adiante.
Agora, com as diagonais desenhadas nos polígonos da página anterior, podemos completar a tabela abaixo. Vamos lá?
Observe o pentágono e complete:
a) Do vértice A, é possível traçar ____ diagonais.
b) Do vértice B, é possível traçar ____ diagonais.
c) Do vértice C, é possível traçar apenas mais ____ diagonal, pois a diagonal que parte
de A até C já foi traçada.
d) Dos vértices D e E não é possível traçar mais diagonais. Já existem as 2 traçadas.
Então, verificamos que, nesse polígono, podem ser traçadas um total de ____ diagonais.
1- Complete a tabela:
8
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
VÉRTICE DIAGONAIS
A 3
B
C
D
E
F
O hexágono possui __ diagonais.
Desenhe as diagonais distintas possíveis, a partir de cada vértice dos polígonos a seguir, e escreva, na tabela, o número de diagonais que conseguiu desenhar. (Não vale recobrir as diagonais já desenhadas ou repeti-las.)
O heptágono possui ____ diagonais.
Se há diagonais com as mesmas extremidades ( e ), a quantidade de diagonais distintas se reduz à metade. Assim, verificamos que, nesse polígono, podem ser traçadas cinco diagonais.
Generalizando, temos:
2 )3( nn
d
F
A B
C
DE
VÉRTICE DIAGONAIS
A 4
B
C
D
E
F
G
AD DA
De cada vértice, é possível traçar duas diagonais. ( 5 – 3 )
Como o pentágono tem cinco vértices, isso ocorrerá cinco vezes. Portanto 2 x 5, um total de 10 diagonais.
2
0
1
14
2 )37(7
d
9
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- Quantas diagonais tem um octógono?
a) O octógono tem _______ lados e também _______ vértices.
b) De um dos vértices, podemos traçar (n −3) diagonais, que nesse caso são _________
diagonais.
c) Como são ________ vértices, seriam ____ x ( ____ − 3) diagonais, seriam ______ diagonais.
d) Mas, por não contarmos as diagonais com mesma extremidade duas vezes, precisamos dividir
por 2. Teremos _____ : 2 = _____ diagonais.
Eu tentei traçar todas para contar, mas estava dando muito trabalho. São muitos vértices!
Eu já entendi! Prefiro usar logo a fórmula.
2- Quantas diagonais há em um dodecágono?
Há ____ diagonais.
Mostre como resolveu a situação-problema e registre o caminho que escolheu para determinar a quantidade de diagonais desse polígono.
2 )3( nn
D
54
10
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
MÚLTIPLOS UNIDADE FUNDAMENTAL
SUBMÚLTIPLOS
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Km hm dam m dm cm mm 1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Você já percebeu que sempre existe uma unidade de medida adequada para medir comprimentos pequenos ou grandes?
Ora! Porque possui a mesma forma de organização do sistema de numeração decimal: dez unidades de uma medida formam uma unidade de medida de ordem, imediatamente superior.
E por existirem essas diferentes medidas, há sempre uma medida adequada para cada situação.
Ah, entendi! São os múltiplos e submúltiplos.
Por que se chama “Sistema Decimal de Medidas”?
Representação decimal
km hm dam m dm cm mm
34,5 dam 3 4 5 0, 35 dm 3 5 0,2 km 2 3,45 m 3 4 5 23,4 dam 2 3 4 0,345 km 3 4 5
Observe a representação das medidas no QUADRO VALOR DE LUGAR (QVL).
Aprendi a usar essas medidas no quinto ano. Seu nome: Sistema Decimal de Unidades de Medidas.
11
Recapitulando...
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
km hm dam m dm cm mm 2 3 0 4
Comprimento dos fios
km hm dam m dm cm mm transformação em metros 23,4 dam 2 3 4 345cm 3 4 5 563,3 cm 5 6 3 3 3,04 hm 3 0 4 total
Transforme a medida 2,304 hectômetros em metros.
2,304 hm = ________________m
1- Igor trabalha numa loja de fios e precisa saber quantos metros de fios de cobre ainda possui. As sobras de cada rolo aparecem em várias medidas nos registros. Quantos metros há, ao todo, desses fios de cobre?
Sobras de fios de cobre: 23,4 dam; 345 cm; 563,3 cm e 3,04 hm
Para saber o total de metros, reunimos as sobras:
__________ + _________+ ________+________ =__________ metros
Nesse caso, como a unidade a ser transformada é dez vezes menor que a unidade dada, multiplicamos por 10. (Caminhamos com a vírgula, uma casa para a direita).
Como usamos o Quadro Valor de Lugar para a transformação de medidas?
Observe o exemplo abaixo. Escreva a medida, registrando o algarismo das suas unidades, o 2 na casa da unidade de medida dada.
12
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Esses polígonos não recebem nomes especiais, eles são nomeados de acordo com o número de lados. Por exemplo, polígono de treze lados, polígono de quatorze lados...
Multirio
Multirio
Faltou dizer os nomes dos polígonos com treze lados, quatorze lados, dezesseis lados...
Assim como os triângulos, os trapézios são classificados em escalenos, isósceles e retângulos.
!!! FIQUE LIGADO
QUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS 2 pares de lados opostos paralelos
TRAPÉZIOS 1 par de lados paralelos
QUADRILÁTERO QUALQUER
retângulo quadrado losango paralelogramo trapézio retângulo
trapézio isósceles
trapézio escaleno
13
Recapitulando...
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
QUANTIDADE DE FIGURAS NÚMEROS DAS FIGURAS
QUADRADOS
RETÂNGULOS
PARALELOGRAMOS
LOSANGOS
TRAPÉZIOS
QUADRILÁTEROS (OUTROS)
1
2
3
5
4
6
7
9
8
11
10
13
12
14
16
15
17
19
18
20 21
22
23
24
Multirio
1 – Observe os quadriláteros abaixo e complete o quadro:
14
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
4 lados iguais
lados opostos iguais
4 ângulos retos
ângulos opostos iguais
2 pares de lados paralelos
apenas 1 par de lados paralelos
Observe a tabela! Nela aparecem 2 quadriláteros. Na primeira linha, estão escritas as características que cada quadrilátero pode ter.
diagonais que se cortam ao meio
diagonais perpendiculares entre si
2 - Observe a tabela. Agora, diga qual o nome do quadrilátero que não compartilha de nenhuma
das características do quadrado: ________________.
Da atividade anterior, podemos concluir que:
a) Todo quadrado é um _______________, mas nem todo losango é um quadrado .
b) Todo quadrado é também um _____________, mas nem todo retângulo é um quadrado.
c) Todo quadrado, retângulo ou losango é também um _______________.
d) Nenhum trapézio é um ________________.
1 - Assinale com um x na tabela as propriedades referentes aos quadriláteros.
Multirio
Multirio
15
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
c) Se multiplicarmos as medidas dos lados de um polígono por um determinado valor, a medida do perímetro também ficará ______________ por esse mesmo valor. (multiplicada / dividida)
d) Triplicando a medida dos lados, a medida do perímetro também fica multiplicada por ____ e a área ficará multiplicada por 3².
e) Multiplicando os lados por 7, a medida do perímetro ficará multiplicada por _____ e a área por _______
lado perímetro área
1 cm ____ cm ____ cm²
2 cm ____ cm ____ cm²
5 cm ____ cm ____ cm²
10 cm ____ cm ____ cm²
Multiplicando a medida dos lados por um número, a área fica multiplicada por esse número elevado ao quadrado.
1- Na figura ao lado, o lado de cada quadradinho menor mede 1 unidade de comprimento, o seu perímetro mede ___ unidades e sua área é de ____ unidade quadrada.
a) Duplicando a medida dos lados, temos lado igual a ___ unidades de comprimento, perímetro medindo ____ unidades de comprimento, e área medindo ____ unidades de área.
b) Complete a tabela, considerando a figura acima:
!!! FIQUE LIGADO
2 - Um retângulo tem 25 cm de comprimento e 0,9 dm de largura. Calcule o seu perímetro.
16
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- ÁREA DO RETÂNGULO
Para calcularmos a área do retângulo, multiplicamos a _________ pela ________.
b x h
b x h
base
2- ÁREA DO PARALELOGRAMO
a) Para calcularmos a área do paralelogramo, multiplicamos a
_____ pela ________. O triângulo com dois lados pontilhados
foi construído pela transposição do triângulo com a altura
pontilhada. Sendo assim, a área do paralelogramo equivale à
área do retângulo.
Altura (h) 2 h x b
Base (b)
3- ÁREA DO TRIÂNGULO
a) Para calcularmos a área do triângulo, utilizaremos o cálculo da área do retângulo. Se nesse retângulo traçarmos uma reta, unindo dois vértices, construiremos dois triângulos. Observe:
Altura (h)
A linha tracejada é uma ________ do retângulo.
Vamos observar como encontrar a área do retângulo.
Altura (h)
Base (b)
Base (b)
Altura (h)
Base (b)
Altura (h)
Base (b)
17
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1- Observe as figuras e responda:
a) Pode-se formar um retângulo com as 2 peças que haviam sido separadas do paralelogramo. Qual é a área do retângulo? ___________ cm² . b) Qual é área do paralelogramo? ___________ cm² . c) O que você conclui das duas áreas? _______________________________________________________________ d) O paralelogramo e o retângulo da figura têm o mesmo perímetro? _______________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
Observe o paralelogramo (fig. 1)!
Fig.1 Fig.2
Fig.3
2- Observe as figuras ao lado e responda:
a) Qual é a área do retângulo? _______ m² ou ____________ cm² .
b) Qual é área do paralelogramo? _____ m² ou ____________ cm² .
c) O que você conclui das duas áreas? ____________________. Por quê?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
d) Quanto ao perímetro do paralelogramo e do retângulo, podemos afirmar que são ___________________ .
1cm
1cm
Você sabia que, decompondo uma figura, fica mais fácil calcular a sua área?
18
6 m
4m4 m
6m
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3- Observe as figuras e responda:
a) Qual é a área do triângulo retângulo? ___________ cm² .
b) Qual é área do triângulo isósceles? ___________ cm² .
c) Qual é área do triângulo escaleno? ___________cm².
d) O que você conclui das três áreas? Justifique.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
e) E os perímetros são iguais? ________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1cm
1cm
19
Para calcularmos a área de paralelogramos, trapézios e triângulos, devemos sempre prestar atenção às bases e às alturas!!! As alturas são relativas às bases que são escolhidas.
!!! FIQUE LIGADO
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Se a área do retângulo é a _______________ e a base do retângulo é igual à
_____________ do losango e a altura do retângulo é a metade da _______________ do
losango, então a área do retângulo é igual ________________________ X a metade da
_______________.
Dessa forma, concluímos que a área do losango é dada pela fórmula : AL =___
2 d x D
Diagonal maior
Diagonal menor
4- ÁREA DO LOSANGO Observe que as peças (4 triângulos) que compõem o losango se encaixam perfeitamente na composição de um retângulo.
1 2 3 4
4 3 21
5- ÁREA DO TRAPÉZIO
Observe que a figura abaixo é formado por 2 trapézios iguais, que se encaixam formando um paralelogramo.
Base maior
Altura (h)
Base menor
A área da região limitada pela figura formada (paralelogramo) é calculada
multiplicando-se a ____________.E como no paralelogramo formado por
estes dois trapézios a base é (B + b) , temos que a área da região que tem a
forma de trapézio é :_____________
Base menor
Base maior
Altura (h)
(B + b) Medida da base
Fórmulas das áreas das principais figuras planas
quadrado = l2
retângulo = b x h
triângulo =
losango =
trapézio =
paralelogramo = b x h
2 ).( h bB 2 d x D 2 h x b
!!! FIQUE LIGADO
2 ).( h bB
+ =
20
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- Observe as medidas das duas figuras representadas ao lado. As medidas dos lados indicam ____m.
a) As duas figuras têm lados de medidas iguais? ______
b) As duas figuras têm o mesmo perímetro? _____ E as áreas, também são iguais? _______
c) A área do quadrado é de _____ m².
d) Qual é a medida da menor e da maior diagonal do losango ao lado? ______ m e ______ m.
e) A área do losango é de ______ m².
5 m
5 m
5 m
1cm
1cm
2- Observe o trapézio ao lado e responda:
a) A base menor mede _________cm.
b) A base maior mede ________ cm.
c) Fazendo a média das bases: (_____ + _____) : 2 = ______
d) Então, a área do trapézio é de ______ x ____ = _____ cm².
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
3 – Num trapézio isósceles a base maior mede 14 cm a base menor 6 cm e sua área 30 m². Calcule a altura desse trapézio.
21
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Cálculos:
22
2 .h b) (B
2 b.h B.h
2 b.h
2 B.h
A
Também podemos encontrar a área do trapézio, da seguinte forma traçar uma _________ no trapézio,
dividindo-o em ___ triângulos. Observe
Base menor
Base maior
Temos agora dois triângulos, um de base B ( ____________) e
altura h e outro de base b ( _____________ ) e altura também h.
Somando – se as duas áreas destes triângulos temos a fórmula da
área do trapézio.
4- Resolva as atividades a seguir:
a) Qual é o perímetro do terreno representado ao lado?
b) Calcule o perímetro de um terreno de forma retangular
que tem 25,5 m de comprimento e 13,5 m de largura.
c) Se o perímetro de uma praça retangular é 122 metros e o menor
lado dessa praça mede 26 metros quanto mede o maior lado?
d) Qual a área de uma praça retangular de 42 metros de
comprimento por 30 metros de largura?
27 m
27 m
Altura (h)
1
2
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
5- Calcule a área dos triângulos a seguir:
a)
1,5 cm
23
6- Calcule a área dos paralelogramos abaixo: a) b)
d)
c)
6,2 cm
8 cm
4 cm
4,2 cm
b)
15 cm
8 cm
Multirio
3 cm
6 cm
12 cm
6 cm
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
7- Determine a área sombreada da figura a seguir, considerando cada unidade quadrada, como 1 m2.
8 - Juca fez um desenho em uma malha quadriculada, conforme a figura abaixo. Se Juca fizer um novo desenho desta mesma figura, porém com os lados duplicados, o que acontecerá com o perímetro dessa nova figura? E o que acontecerá com a área da nova figura? a) ( ) O perímetro ficará multiplicado por 2 e a área por 2. b) ( ) O perímetro ficará multiplicado por 4 e a área por 2. c) ( ) O perímetro ficará multiplicado por 4 e a área por 4. d) ( ) O perímetro ficará multiplicado por 2 e a área por 4.
24
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Você sabe o que é um prisma?
Sim! E caso você não saiba o que é , eu posso ajudá-lo a construir um, o que acha?
Acho ótimo!
Desenhe em uma cartolina uma figura semelhante à da página em estudo.
Seu Professor de Artes poderá auxiliá-lo, nesta tarefa, pois assim você será muito bem orientado 1 – Recorte sobre todo o contorno da figura.
2 – Dobre todos os traços pretos.
3 – Construa o prisma.
No prisma que você construiu:
- As regiões internas dos retângulos (1), (2), (3), e (4) são chamadas FACES LATERAIS do prisma.
- As regiões (5), (6) são chamadas BASES do prisma.
- As interseções de duas faces são chamadas ARESTAS.
- O prisma é classificado pelo polígono de uma de suas bases.
-As interseções de duas arestas (quando existir), é sempre um ponto, e estes pontos são chamados VÉRTICES.
5
3
4
2
1
6
Agora, responda:
a) Quantas faces tem o prisma que você construiu? ____
b) Quantas arestas tem o prisma que você construiu? ____ c) Quantos vértices tem o prisma que você construiu? ____ 25
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Você percebe alguma relação entre os números de vértices, faces e arestas destes sólidos geométricos?
PRISMA TRIANGULAR RETOCUBO PARALELEPÍPEDO RETO
POLÍGONO DE 10 LADOS
HEXÁGONO
PENTÁGONO
QUADRILÁTERO
5TRIÂNGULO
V Número de vértices
A Número de arestas
F Número de faces
Prisma cuja base é
9 6
V + F – A = __
6 + 5 – 9 = 2
26
1- Vamos completar a tabela?
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Para calcular o volume de um cubo e de um paralelepípedo, basta ____________
as medidas de suas arestas.
Paralelepípedo Volume =________ x ____________x _______ V = ___x ___x ___
Cubo Volume =________ x ____________ x ________ V = ___ x ___ x ___.= ___
Afinal de contas, o que é volume?
É a quantidade de espaço ocupada por um corpo.
E como se mede o volume? Sua unidade no sistema internacional de unidades é o metro cúbico (___).
Para entendermos melhor, um paralelepípedo reto com 5 cm de largura, 10 cm de
comprimento e 8 cm de altura tem volume igual a : V = ___ x ___x ___= _______
Já um cubo com 6 cm de aresta tem volume igual a : V = ___ = ______
E mais alguma coisa sobre cubos e paralelepípedos?
VOLUME DE UM CUBO Aresta x aresta x aresta = a3
.
O cubo é um prisma que tem as suas faces com medidas iguais. O cubo tem os seguintes elementos: • 6 faces, que são quadradas; • 12 arestas iguais, que são segmentos de reta; • 8 vértices, que são as interseções das arestas.
VOLUME DE UM PRISMA RETO
Àrea da base x altura =
V= Ab x h = a x b x c
comprimento
altura
a
b
c
VOLUME DE UM CUBO Aresta x aresta x aresta = a3
!!! FIQUE LIGADO
27
No momento isto é o mais importante, para resolução das atividades.
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1 - Cite alguns exemplos de objetos que sugerem as figuras de cubos e paralelepípedos retos.
______________________________________________________________________________
2 - Um dado de jogos de tabuleiro representa um cubo de 3,5 cm de aresta. Qual é o volume deste dado?
____________________________________________________________________________________________
28
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
3 - Um paralelepípedo reto possui medidas 3 cm, 4 cm e 7 cm para a largura, comprimento e altura, respectivamente. Determine o volume desta figura.
______________________________________________________________________________________________
4 - Um reservatório de água tem a forma cúbica e volume de 1000 litros. Sabendo que 1 dm³ = 1L, qual a medida em metros da aresta desse reservatório? (Sugestão: monte o esquema para conversão de unidades cúbicas.)
5 - Calcule o volume de uma caixa de fósforos que tem a forma de um paralelepípedo retângulo e cujas dimensões são 4,8 cm, 1,7 cm e 3,5 cm.
6- O volume de um paralelepípedo reto (figura abaixo) é de 66 cm³. Sabendo que sua base mede 4 cm e sua largura mede 3 cm, calcule a medida de sua altura.
comprimento a
b
c
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
O lado do quadradinho mede 1 unidade, então a sua área é de
___ cm X ___ cm = ___ cm².
Se a área de cada quadradinho é 1cm², vamos indicar quantos quadradinhos cabem em cada figura que compõe o TANGRAM e qual a área de cada uma dessas figuras:
• triângulo grande: cabem _____ quadradinhos ou _____ cm². • triângulo médio: cabem _____ quadradinhos ou _____ cm². • triângulo pequeno: cabem _____ quadradinho ou _____ cm². • quadrado: cabem _____ quadradinhos ou _____ cm². • paralelogramo: cabem _____ quadradinhos ou _____ cm².
Oba! Vamos trabalhar com TANGRAM!
O que é mesmo TANGRAM?
É um quebra-cabeça de origem chinesa, formado por 7 peças poligonais com as quais podem-se formar milhares de figuras diferentes. Veja!
As regras são: construir figuras utilizando todas as 7 peças do TANGRAM. Vamos recortar, montar o TANGRAM da próxima página e brincar!
Huuum, é mesmo! Tem 7 peças. Sendo elas: ___ quadrado, ___ paralelogramo e um total de ___ triângulos, sendo dois desses grandes, dois pequenos e um médio.
29
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
30
ensinarevt.com Galeria.colorir.com
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
31
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Considerando como unidade de área um triângulo pequeno recortado do seu TANGRAM, coloque-o sobre cada peça. Confira quantos desses triângulos seriam necessários para cobri- las. Agora, complete a tabela ao lado:
• Se a área de cada triângulo pequeno é 1cm², a área do triângulo médio é ____ cm².
• Se quiséssemos cobrir todo o TANGRAM com pecinhas em formato de triângulos pequenos, precisaríamos de ____ peças.
• Mas se quiséssemos cobrir todo o TANGRAM com pecinhas em formato triangular médio, precisaríamos de ____ peças.
FIGURA
QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS PEQUENOS
QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS MÉDIOS
triângulo pequeno
triângulo médio
triângulo grande
quadrado
paralelogramo
TANGRAM completo
Então, quanto menor for a peça que estivermos usando para cobrir a figura, de _________ (menor/maior) quantidade de peças vamos precisar. E quanto maior for a peça usada para cobrir a figura, __________ (menor/maior) quantidade de peças vamos precisar.
Veja! Você reparou que quando dobramos o tamanho do triângulo, precisamos usar _______________da quantidade de triângulos para formar a figura pedida? (dobro/metade)
32
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
FIGURA ÁREA PERÍMETRO
A - TANGRAM 16u
B
C
D
a a b
Com as peças do seu TANGRAM, junte-se a um colega e tente montar as figuras ao lado. Indique como foram montadas. Se precisar, seu Professor irá auxiliá-lo.
A
B D
a a
b
Considerando como unidade de área um triângulo pequeno, monte as figuras utilizando as peças do seu TANGRAM para medir e indicar na tabela a área de cada uma delas: A, B, C e D. Todas compostas pelas 7 peças do quebra-cabeça.
Vamos expressar também, na tabela, o perímetro aproximado das figuras B, C, D e do TANGRAM (A) em função dos lados do triângulo pequeno. Observe as medidas do triângulo!
2
1
4
3
5
6
7
3
2
7
4
6
1
5
5
6
3
4
7
1
2
2
1 375
6
4
2a
b
b
4a-2b
b
b
b
2b
b
b
2a
2a
a
2a2a
a
2a2a
4a
2a
2a
b
b b
b
b
2b
2b
b
b
2a
b b
2b
2b
b
C
2ab
a
2a
ba
b
b
4a-2b
33
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Vamos praticar um pouco mais sobre um assunto que já vimos no 7.º Ano e, também, no primeiro bimestre?
1 - Considere que a reta numérica abaixo indica os marcos de uma rodovia e que os valores nos intervalos entre uma marcação e outra estejam sendo indicados em quilômetros.
Um carro partindo do km 0, terá se deslocado quantos quilômetros nos pontos:
0 1 2 3 7 8 9 4 5 6
A B C D E
a) A = _______ b) B = _______ c) C = _______ d) D = _______ e) E = _______
Em uma eleição de uma pequena cidade onde concorreram apenas dois candidatos, na apuração, verificou-se que
dos 2 400 eleitores, dos eleitores votaram no candidato A , votou no candidato B , foram anulados e
dos eleitores votaram em branco. Qual o número de eleitores que deixaram de votar?
Candidato A 5 __
Temos que reduzir as frações a um mesmo denominador comum, pode ser o denominador 20 , ou um outro múltiplo comum.
Assim , ; ___ ___ 4 1 ; ___ ___ 5 2
5 2
4 1
10 1
20 1
Candidato B __ 1
Votos nulos 10 __
Votos em branco __ 1
.
___ ___
20 1
;
___ ___
10 1
Logo , ___ ___ ___ ___ 20 20
___ ___
20 2
___ ___
34
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
2- Entre que números inteiros fica o número irracional ?
Como já vimos o que é um número irracional no bimestre anterior que tal realizar algumas atividades para relembrá-los?
1- Ordenando os números 1, , em ordem crescente, como ficaria esta sequência? 9 e 5 4, 2, ,2,7,3
35
Já que estamos falando em números irracionais, não podemos esquecer do PI, que é um número muito famoso.
Afinal de contas, que número é esse?
Se num círculo qualquer, tomarmos a medida de sua circunferência e dividirmos pela medida de seu diâmetro, encontraremos sempre um número constante, e este número de infinitas casas decimais recebe o nome de PI e é representado pela letra grega .
Diâmetro é um segmento de reta com origem na circunferência (corda) que passa pelo seu centro.
Logo, as raízes são números entre 2 e 3. No entanto, por mais que tentemos nunca chegaremos aos valores exatos desses números.
Assim, ____, ____, ____, ____ são exemplos de números irracionais.
Sabemos que:
9 8 7 6 5 4 . Isto quer dizer que 3 8 7 6 5 2
...
Diâmetro O
Boa ideia!
Multirio
35
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Em situações que queremos calcular o valor numérico de uma expressão algébrica , temos como informação nos exercícios, o(s) valor(es) numérico(s) da(s) letra(s).Veja abaixo:
(x + 4) + 2y , para x = 2 e y = 4. Substituindo cada letra pelo valor informado, temos:
2(3x – 1 ) + 7y(x + 2) , para x = 3 e y = 5.
2(3.__ – 1 ) + 7.__ (__ + 2) = 2 ( __ – 1) + 35. (5) = 2 . __ + 35 . 5 = 16 + __ = 191.
( __+ 4) + 2.__ = __ + __ = __ 2
Muito bem! Que tal agora praticar um pouco? Mostre que compreendeu e resolva a atividade da próxima página.
Expressões algébricas são aquelas que têm letras e números e são ligados por operações de adição, de subtração e de multiplicação). Mas como devo proceder para fazer cálculos com essas letras?
Entendi! Eu apenas troco as letras pelo _______________________ informado e resolvo como se fosse uma expressão numérica, respeitando as regras de resolução de expressões.
36
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- Calcule o valor numérico das expressões abaixo:
a) 4. y e 1 x para , y 2 x3 2
.3 c e 2 a 4, b para , 4ac b 2 b)
c)
d)
.5 y e 2 x para ,y x 3
3 x para ,3x x 2
!!! FIQUE LIGADO
Expressão algébrica é composta por letras e números ligados pelos sinais de operação. Exemplos:
3x o triplo de um número.
x+1 o sucessor de um número inteiro. (a+b)2 o quadrado da soma de dois números.37
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
2- Calcule o valor numérico de cada expressão algébrica abaixo:
a) 2x + 7y, para x = 3 e y = 1.
b) x2 – 2x + y, para x = 3 e y = 2
c) 7(x + 4) – 2y – 5z, para x = 1,y = 2 e z = 4.
d)
e)
4. z e 7y , 36 xpara , z7y x
1. y e 1 xpara , z7
2 3y
3 x2
20. y e 3 x para 1, 4y x3 f) 3
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Você sabe o que é um monômio? Dê um exemplo. Sim, é uma expressão algébrica. Observe: 3ab2, 4m, 3x3- 2y, a2...
Não possui
ab
xy²- 8 ab1313ab Parte LiteralCoeficienteMonômios
ab
7 7
0,18y3
!!! FIQUE LIGADO
Monômio ou termo algébrico é toda expressão algébrica que representa apenas multiplicações de números e letras.
Ex: 8x ; 5x² ; 2x ; 3 ; 4y ; 2z ; 7m.
Polinômio é toda expressão algébrica formada por um ou mais monômios.
Polinômios com dois termos (dois monômios) são chamados de ________ e polinômios com 3 termos (três monômios) são chamados de _________ .
Para reconhecê-los, primeiro reduzimos os termos semelhantes, quando existirem. Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal. 38
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Mas o que são termos semelhantes em um polinômio?
Boa pergunta! São termos que apresentam partes literais iguais, ou quando são apenas números.
1- Vamos analisar dois casos de polinômios que tem termos semelhantes e vamos reduzir, operando com esses termos semelhantes:
3x² + 5x + 2x² = 3x = ( __+ __ ) x² + ( __ + __ ) x = __ x² + __ x
2x²y³ + 6x + 3y + 8x²y³ + 2x – y = ( __+ __ ) x²y³ + ( __+ __ ) x + ( __ – __ ) y =
10x²y³ + 8x + 2y
Que tal agora realizarmos algumas atividades para fixar o que aprendemos?
2- Classifique como monômio, binômio ou trinômio os polinômios abaixo:
a) 3x – 1 __________ d) 2x + 7 ________
b) 9x²y³z __________ e) 3x² + 7x – 4 _______
c) 3x + 2y – 5 _________ f) ________
3 – Reduza os termos semelhantes e classifique os polinômios em: monômio, binômio ou trinômio.
a) 7x + 3y + 2x + 5y + 3
4 x
!!! FIQUE LIGADO
.
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
39
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- Se temos dois monômios, semelhantes ou não, podemos obter um novo monômio pela multiplicação dos dois. Para realizarmos esta operação, usamos as propriedades da multiplicação e da potenciação. Observe:
9x² . ( 5x³) = (9 . 5) .( x² . x³) = 45
5x
2- Se temos dois monômios, sendo o segundo diferente de zero, podemos dividir o primeiro pelo segundo. Caso na divisão existam variáveis iguais, usamos a propriedade da divisão de potências de mesma base. Observe:
Resolva: a) 3 a . (-4b) =_______________________________
b) (5x) . (6x) =_______________________________
x²31.x.3
y y
.
x x³
.
7 21
7xy yx21 1 -3 3
3- Simplifique:
5x 30x
a)
4
15b 5a b)
222
32
cb4a bc20a
d)
222 32 zy4x- yz40x-
c)
(-13x) : 26x³ e)
(-5a²x) : 8a³x³ f)
Multiplicamos as partes numéricas e as partes literais.
40
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- A soma de um número com o seu triplo resulta 36.Que número é esse?
2 – Marta comprou 2 kg de arroz e 3 kg de feijão, sendo que o kg do feijão é R$ 2,00 mais caro que o kg do arroz. Sabendo-se que Marta gastou R$ 16,00 no total da compra, qual o preço do kg do arroz? E do feijão?
3 – Verifique se x = 3 é raiz da equação 2x + 4 = 0. Em caso negativo, calcule a raiz desta equação.
41
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
4 – Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, dadas por : a = 8x + 3 e b = 10x – 7. Qual é o valor de x?
: 8x + 3 10x – 7
5 – O triplo de um número, menos 21 é igual ao próprio número mais um. Qual é esse número?
6 - A diferença entre um número e sua terça parte é igual a 38. Qual é esse número?
42
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
7– Alfredo foi ao shopping e comprou uma blusa e uma calça jeans, sendo que o preço da calça era o triplo do preço da blusa. Se Alfredo gastou no total R$ 130,00, qual o preço da blusa? E da calça jeans?
8– Um terreno retangular tem em sua largura 5 metros a menos que o seu comprimento . O perímetro do terreno é de 42 metros. Quais as medidas da largura e do comprimento do terreno?
9– A base de um triângulo isósceles tem 4 cm a mais que os outros dois lados . Se o perímetro desse triângulo é de 28 cm, determine as medidas dos seus lados.
10– Em uma partida de videogame, Aurélio conseguiu 160 pontos em três rodadas. Na 2.ª rodada, ele fez 20 pontos a menos do que na 1.ª rodada, e, na 3.ª rodada, ele fez o triplo de pontos feitos na 2.ª rodada. Quantos pontos Aurélio fez em cada rodada?
43
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Preciso comprar 5 garrafas de suco dentre caju e uva. De quantas maneiras posso fazer isso?
Já tenho uma ideia de como fazer isso.
Sua ideia parece boa. No entanto, você quer saber de quantas maneiras e não qual a maneira. Isso significa que a equação que você criou para a situação-problema tem mais de uma solução.
Tente verificar quantas são as soluções.
44
Se chamarmos o número de garrafas de suco de caju de x e de y o número de garrafas de suco de uva, como são 5 garrafas, temos a igualdade x + y = 5.
Continua
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Se chamarmos o número de garrafas de suco de caju de x e de y o número de garrafas de suco de uva, como são 5 garrafas, temos a igualdade x + y = 5. Observe a tabela abaixo.
______ ____4 ______ __3__ ______
550 x + yyx
1
Então, são ___ maneiras diferentes.
Parabéns! Neste caso, o problema tem 6 soluções, mas ainda assim um número determinado de soluções.
Falando assim, parece até que existem equações que tem infinitas soluções.
E existem!!!
Como? Imagine só esta equação x + y = 5 e os números racionais para resolvê-la.
Vejamos :x + y = 5 ; com x e y pertencendo ao conjunto dos números racionais . ( x,y Q). Numa tabela, as soluções podem ser as da tabela anterior, e também muitas outras.
____- 3 ______ ____ ______ 550 x + yyx 1,4 3,8 3,75No conjunto dos números racionais, as possibilidades são infinitas, porque podemos “ diminuir um pouco” um valor e “aumentar um pouco” o outro. Equações que possuem uma infinidade de soluções são chamadas de equações indeterminadas. !!! FIQUE LIGADO
45
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Então, uma equação pode ter uma ou mais soluções. Até mesmo uma infinidade. E com soluções impossíveis?
Responda você, a partir da situação a seguir.
O triplo de um número mais 7 é igual ao seu triplo mais 11.
Esta equação é impossível, pois não existe nenhum número que multiplicado por zero dê 18.
Classifique as equações como possíveis, indeterminadas ou impossíveis.
a) 2x = 3 + 7
b) –5 + 3x + 8 = 11 + 3x - 8
c) 3b + m – 3b – m = 21
d) 4 + 2K = 2( K + 2)
e) 0.x = 13
f) 9 x 2 3
AGORA, É COM VOCÊ !!!
18 0x 7 11 3x 3x __ 3x __ x 3
46
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
No finais de semana, uma empresa de ônibus opera com apenas 30% da capacidade de sua frota.
O gráfico a seguir representa esta situação. Este gráfico é conhecido como gráfico de __________( barras - setores)
Portanto, temos uma correspondência entre esses fatos.
Para bem construir um gráfico de setores, levamos em conta que o total em percentual é expresso por ____ , e que o ângulo de uma volta vale 360º.
100% ------------- 360º
30% -------------- x
108º 3 . 36
100 ___ . 360
X
30 . 360 X . 100
Então,
O valor de cada setor representado é proporcional às respectivas medidas dos ângulos (1% no gráfico de setores equivale a 3,6º).
108º
252º
47
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1- Sabendo que o gráfico a seguir transmite a informação de que, em um dia de semana, esta empresa de ônibus operou com apenas 90% de sua frota, qual o valor do ângulo referente a parte pintada?
2 – Uma pesquisa feita sobre consumo de biscoitos mostrou que 25% dos entrevistados consome a marca A , 30% a marca B e os 45% restante, a marca C. Sabendo que cada um dos entrevistados consome uma única marca, faça um gráfico de setores dessa pesquisa, indicando o valor dos ângulos correspondentes aos setores de cada marca no gráfico.
AGORA, É COM VOCÊ !!!
324º
48
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
3 - Se pintarmos uma região do círculo limitada por um ângulo de 270º, qual a porcentagem desta área que ficou pintada?
4- O gráfico de “pizza” é também chamado de gráfico de
a) barras. b) histograma. c) setores. d) linhas.
O gráfico de barras é um tipo de gráfico que expressa a relação entre duas ____________. (porcentagens/ grandezas)
Sérgio quer saber, no final da pesquisa, o perfil de sua turma em relação aos esportes. Sua turma tem 45 alunos que praticam vôlei, futsal ou basquete. Sérgio obteve as respostas: Vôlei 17; Futsal 20; Basquete 12. Com a intenção de apresentar as informações e fazer uma comparação, ele apresentou o gráfico a seguir:
R: ________
Esportes
Neste gráfico, é fácil perceber que mais pessoas jogam Futsal, pela altura da barra em comparação com os outros esportes.
Nº de pessoas
10
15
20
B a s q u e t e F U T S A L
B A S Q U E T E
V O L E I
49
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
AGORA, É COM VOCÊ !!!
2 – Construa um gráfico de barras para a situação a seguir.
Foi realizada uma pesquisa sobre os livros mais lidos da escola, obtendo os seguintes resultados: • Matemática – 30; • História – 24; • Literatura – 35; • Biologia – 27.
Resposta
1 – Um pesquisador montou um gráfico de barras para registrar a preferência das pessoas entre as marcas A, B, C ou D de um produto de limpeza, mas ele esqueceu de indicar o número de pessoas para cada marca.
Então, após análise do comportamento do gráfico, verifica-se que a marca preferida pelos consumidores é a ____. E a marca mais rejeitada é a _____.
B a s q u e t e
Nº de pessoas
Marcas
C
A
B
D
50
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Gráfico de linhas
Em uma escola, foi registrada a frequência de alunos em sua biblioteca durante todo o ano letivo e a partir dos registros obtivemos o seguinte gráfico :
30
35
50
45
N.º DE ALUNOS
40
2.º1.º 3.º 4.º
Observe e analise as informações do comportamento deste gráfico e registre nas lacunas:
1.º- Do primeiro para o segundo bimestre, o número de alunos frequentando a biblioteca _________. (diminuiu/ aumentou)
2.º- Do segundo para o terceiro bimestre, o número de alunos frequentando a biblioteca _________. (aumentou/ diminuiu)
3.º- No quarto bimestre, ___ alunos frequentaram a biblioteca.
4.º- O terceiro bimestre foi aquele com______ frequência de alunos. ( maior – menor).
MESES
51
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
a) 7x3 + 3x2 - 3 + 8x2 - 3x3 + 19
y5x ²y8x .x7 ) e 4 32
1- A largura e o comprimento de um terreno têm suas medidas representadas por x + 11 e 3x , respectivamente. Qual é a representação através de polinômio, do perímetro e da área desse terreno?
2) Reduza os termos semelhantes:
c)
b) 8xy2 – 2xy + 3xy2 + 4xy + 11
d)
5a² 5a + 2a – 12a² –
4m² + 3m - 8 + 2m² - m - 1
x + 11 x + 11
3x
3x
Multirio
52
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- Represente através de polinômio:
a) um número par.
__________________________
b) um número ímpar.
___________________________
2- Sérgio comprou uma certa quantidade de bolas de gude. Quando comparou com a quantidade de João, percebeu que tinha 5 bolas de gude a menos. Como Sérgio pode representar a sua quantidade de bolas de gude em relação às de João? E estas quantidades juntas?
3- Observe o desenho abaixo, que representa a vista da frente de uma casa. Que expressão nos fornece o perímetro desse desenho? Tal expressão é um monômio ou um binômio?
3x
2x + 0,5
x x
2x + 0,5
4- Classifique como monômio, binômio, trinômio:
a) 2x + 7 _________________ c) 3x² + 7x – 4 ____________________
b) _________________ d) 7x²y³z ____________________ 4 x
53
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
5- Considere as situações a seguir e forneça as expressões algébricas correspondentes, classificando-as em monômios, binômios ou trinômios.
a) O perímetro de um quadrado de lado L .
______________________________________________________________________
b) O perímetro de um retângulo de comprimento x e de largura x – 2
______________________________________________________________________
c) O perímetro de um triângulo isósceles com os lados medindo
______________________________________________________________________
d) O volume de um cubo cuja aresta mede 2 k .
______________________________________________________________________
4) y ( e 4) y ( , y²
6- Crie uma situação que pode ser resolvida pela equação:
a) 12 x + 5 = 89
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
b) 5x – 7 = -2x
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
c) 150 = 8 x
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 54
1
apostila de matemática
1 – Sistema de numeração cuja base é 10.
5 – Dois ângulos cuja soma resulta 180°.
7 – Ângulo com medida maior que 90º.
10 – Unidade de medida de ângulo.
12 – Unidade padrão de medida de capacidade.
14 – Cinquenta por cento.
16 – Polígono que possui 5 lados.
17 – Resultado de uma multiplicação.
19 – Triângulo que possui as medidas dos três lados iguais.
1 – Operação inversa da multiplicação.
2 – Ângulo com medida menor que 180º.
3 – Unidade fundamental de medida de comprimento.
4 – Diz-se de todo número natural que é divisível por 2.
6 – Duas ou mais frações que representam a mesma parte de um inteiro.
8 – Diz-se do número inteiro que sempre que dividido por dois deixa resto 1.
9 – Operação inversa da potenciação.
11 – Medida do contorno de uma figura plana
13 – Valor desconhecido de uma equação.
15 – Fração com numerador menor que o denominador.
18 – Medida de superfície.
Multirio
2
9
10
11
1
43
5
6
7
8
12
13
14
15
16
17
18
19
3
HORIZONTAIS VERTICAIS
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Um polígono com 12 lados recebe o nome de dodecágono.
Um polígono com 15 lados recebe o nome de pentadecágono.
Um polígono com 20 lados recebe o nome de icoságono.
O nome de um polígono é dado de acordo com o seu número de lados.
Polígonos são figuras fechadas, formadas por segmentos de reta. Os segmentos de retas que limitam os polígonos são chamados de lados.
Também designaremos por polígono uma região poligonal, isto é, uma região plana limitada por um polígono.
Polígonos regulares são aqueles que possuem os lados e os ângulos com medidas iguais.
Polígonos convexos quando seus ângulos são menores que 180º e seus vértices apontam para o exterior.
Polígonos não-convexos quando possuem um ângulo com medida maior que 180º.
Multirio
!!! FIQUE LIGADO
Região poligonalPolígono
DECÁGONO
Polígono Número de lados Nome do polígono Número de vértices 3 TRIÂNGULO 3
4
QUADRILÁTERO
PENTÁGONO 5
HEXÁGONO 6
HEPTÁGONO
OCTÓGONO
ENEÁGONO 9
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
4
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
D
A
C
B
a) Os vértices consecutivos a A são B e C. Ligando-os a A, temos os lados ____ e ____ .
Por isso, a única diagonal que se pode traçar, a partir do vértice A, é a que vai até o vértice ____ .
Temos a diagonal . AD
Os lados são os segmentos de reta: , , e .AB ACBD DC
1- Observe o polígono a seguir e complete.
Sei que A, B, C e D são os vértices desse polígono, mas o que é diagonal?
Diagonal é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono.
vértice
5
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
b) Os vértices consecutivos a B são os vértices ____ e ____. Ligando-os a B, temos os lados _____ e _____.
Então, para traçar a diagonal que parte de B, você deverá fazer um segmento de B até ____, formando a diagonal ____ .
B
A
D
C
2- Nas figuras abaixo, nomeie o polígono , represente seus lados, suas diagonais e seus vértices.
a)
POLÍGONO: _________________
Lados:_____,___,____,______
Diagonais _____,____________
Vértices ______________
POLÍGONO: _________________
Lados:___,____,____,_______
Diagonais ____,____________
Vértices ______________
6
b)
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- De cada vértice de um pentágono, podemos traçar apenas ______
diagonais.
O pentágono tem ______ vértices. Pode-se afirmar que ele tem 5 x 2
diagonais ?
Explique. _________________________________________________
__________________________________________________________
_________________________________________________________.
Vamos escolher um vértice em cada um dos polígonos. A seguir, desenhe as diagonais que puder traçar a partir desse vértice escolhido.
A
B
C
E
D
.
A notação de um segmento de
reta é dada pelas letras
maiúsculas que representam suas
extremidades, desenhando
uma barra acima delas, em
qualquer ordem.
Exemplo: e representam o
mesmo segmento.
Essas extremidades , A, B, C, D e
E, são os vértices do polígono.
AD
!!! FIQUE LIGADO
DA
7
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Polígono Número de vértices
Número de diagonais que partem de cada vértice
Número de diagonais de cada vértice X n° de vértices
TRIÂNGULO 3 3 X 0= 0
QUADRILÁTERO 4 X 1= 4
PENTÁGONO
HEXÁGONO
HEPTÁGONO
A tabela sugere que, se um polígono possui n vértices, o número de diagonais que
partem de cada vértice é n – 3, onde n é um número natural maior ou igual a 3.
Isso ficará mais claro adiante.
Agora, com as diagonais desenhadas nos polígonos da página anterior, podemos completar a tabela abaixo. Vamos lá?
Observe o pentágono e complete:
a) Do vértice A, é possível traçar ____ diagonais.
b) Do vértice B, é possível traçar ____ diagonais.
c) Do vértice C, é possível traçar apenas mais ____ diagonal, pois a diagonal que parte
de A até C já foi traçada.
d) Dos vértices D e E não é possível traçar mais diagonais. Já existem as 2 traçadas.
Então, verificamos que, nesse polígono, podem ser traçadas um total de ____ diagonais.
1- Complete a tabela:
8
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
VÉRTICE DIAGONAIS
A 3
B
C
D
E
F
O hexágono possui __ diagonais.
Desenhe as diagonais distintas possíveis, a partir de cada vértice dos polígonos a seguir, e escreva, na tabela, o número de diagonais que conseguiu desenhar. (Não vale recobrir as diagonais já desenhadas ou repeti-las.)
O heptágono possui ____ diagonais.
Se há diagonais com as mesmas extremidades ( e ), a quantidade de diagonais distintas se reduz à metade. Assim, verificamos que, nesse polígono, podem ser traçadas cinco diagonais.
Generalizando, temos:
2 )3( nn
d
F
A B
C
DE
VÉRTICE DIAGONAIS
A 4
B
C
D
E
F
G
AD DA
De cada vértice, é possível traçar duas diagonais. ( 5 – 3 )
Como o pentágono tem cinco vértices, isso ocorrerá cinco vezes. Portanto 2 x 5, um total de 10 diagonais.
2
0
1
14
2 )37(7
d
9
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1- Quantas diagonais tem um octógono?
a) O octógono tem _______ lados e também _______ vértices.
b) De um dos vértices, podemos traçar (n −3) diagonais, que nesse caso são _________
diagonais.
c) Como são ________ vértices, seriam ____ x ( ____ − 3) diagonais, seriam ______ diagonais.
d) Mas, por não contarmos as diagonais com mesma extremidade duas vezes, precisamos dividir
por 2. Teremos _____ : 2 = _____ diagonais.
Eu tentei traçar todas para contar, mas estava dando muito trabalho. São muitos vértices!
Eu já entendi! Prefiro usar logo a fórmula.
2- Quantas diagonais há em um dodecágono?
Há ____ diagonais.
Mostre como resolveu a situação-problema e registre o caminho que escolheu para determinar a quantidade de diagonais desse polígono.
2 )3( nn
D
54
10
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
MÚLTIPLOS UNIDADE FUNDAMENTAL
SUBMÚLTIPLOS
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro Km hm dam m dm cm mm 1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Você já percebeu que sempre existe uma unidade de medida adequada para medir comprimentos pequenos ou grandes?
Ora! Porque possui a mesma forma de organização do sistema de numeração decimal: dez unidades de uma medida formam uma unidade de medida de ordem, imediatamente superior.
E por existirem essas diferentes medidas, há sempre uma medida adequada para cada situação.
Ah, entendi! São os múltiplos e submúltiplos.
Por que se chama “Sistema Decimal de Medidas”?
Representação decimal
km hm dam m dm cm mm
34,5 dam 3 4 5 0, 35 dm 3 5 0,2 km 2 3,45 m 3 4 5 23,4 dam 2 3 4 0,345 km 3 4 5
Observe a representação das medidas no QUADRO VALOR DE LUGAR (QVL).
Aprendi a usar essas medidas no quinto ano. Seu nome: Sistema Decimal de Unidades de Medidas.
11
Recapitulando...
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km hm dam m dm cm mm 2 3 0 4
Comprimento dos fios
km hm dam m dm cm mm transformação em metros 23,4 dam 2 3 4 345cm 3 4 5 563,3 cm 5 6 3 3 3,04 hm 3 0 4 total
Transforme a medida 2,304 hectômetros em metros.
2,304 hm = ________________m
1- Igor trabalha numa loja de fios e precisa saber quantos metros de fios de cobre ainda possui. As sobras de cada rolo aparecem em várias medidas nos registros. Quantos metros há, ao todo, desses fios de cobre?
Sobras de fios de cobre: 23,4 dam; 345 cm; 563,3 cm e 3,04 hm
Para saber o total de metros, reunimos as sobras:
__________ + _________+ ________+________ =__________ metros
Nesse caso, como a unidade a ser transformada é dez vezes menor que a unidade dada, multiplicamos por 10. (Caminhamos com a vírgula, uma casa para a direita).
Como usamos o Quadro Valor de Lugar para a transformação de medidas?
Observe o exemplo abaixo. Escreva a medida, registrando o algarismo das suas unidades, o 2 na casa da unidade de medida dada.
12
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Esses polígonos não recebem nomes especiais, eles são nomeados de acordo com o número de lados. Por exemplo, polígono de treze lados, polígono de quatorze lados...
Multirio
Multirio
Faltou dizer os nomes dos polígonos com treze lados, quatorze lados, dezesseis lados...
Assim como os triângulos, os trapézios são classificados em escalenos, isósceles e retângulos.
!!! FIQUE LIGADO
QUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS 2 pares de lados opostos paralelos
TRAPÉZIOS 1 par de lados paralelos
QUADRILÁTERO QUALQUER
retângulo quadrado losango paralelogramo trapézio retângulo
trapézio isósceles
trapézio escaleno
13
Recapitulando...
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QUANTIDADE DE FIGURAS NÚMEROS DAS FIGURAS
QUADRADOS
RETÂNGULOS
PARALELOGRAMOS
LOSANGOS
TRAPÉZIOS
QUADRILÁTEROS (OUTROS)
1
2
3
5
4
6
7
9
8
11
10
13
12
14
16
15
17
19
18
20 21
22
23
24
Multirio
1 – Observe os quadriláteros abaixo e complete o quadro:
14
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4 lados iguais
lados opostos iguais
4 ângulos retos
ângulos opostos iguais
2 pares de lados paralelos
apenas 1 par de lados paralelos
Observe a tabela! Nela aparecem 2 quadriláteros. Na primeira linha, estão escritas as características que cada quadrilátero pode ter.
diagonais que se cortam ao meio
diagonais perpendiculares entre si
2 - Observe a tabela. Agora, diga qual o nome do quadrilátero que não compartilha de nenhuma
das características do quadrado: ________________.
Da atividade anterior, podemos concluir que:
a) Todo quadrado é um _______________, mas nem todo losango é um quadrado .
b) Todo quadrado é também um _____________, mas nem todo retângulo é um quadrado.
c) Todo quadrado, retângulo ou losango é também um _______________.
d) Nenhum trapézio é um ________________.
1 - Assinale com um x na tabela as propriedades referentes aos quadriláteros.
Multirio
Multirio
15
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c) Se multiplicarmos as medidas dos lados de um polígono por um determinado valor, a medida do perímetro também ficará ______________ por esse mesmo valor. (multiplicada / dividida)
d) Triplicando a medida dos lados, a medida do perímetro também fica multiplicada por ____ e a área ficará multiplicada por 3².
e) Multiplicando os lados por 7, a medida do perímetro ficará multiplicada por _____ e a área por _______
lado perímetro área
1 cm ____ cm ____ cm²
2 cm ____ cm ____ cm²
5 cm ____ cm ____ cm²
10 cm ____ cm ____ cm²
Multiplicando a medida dos lados por um número, a área fica multiplicada por esse número elevado ao quadrado.
1- Na figura ao lado, o lado de cada quadradinho menor mede 1 unidade de comprimento, o seu perímetro mede ___ unidades e sua área é de ____ unidade quadrada.
a) Duplicando a medida dos lados, temos lado igual a ___ unidades de comprimento, perímetro medindo ____ unidades de comprimento, e área medindo ____ unidades de área.
b) Complete a tabela, considerando a figura acima:
!!! FIQUE LIGADO
2 - Um retângulo tem 25 cm de comprimento e 0,9 dm de largura. Calcule o seu perímetro.
16
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1- ÁREA DO RETÂNGULO
Para calcularmos a área do retângulo, multiplicamos a _________ pela ________.
b x h
b x h
base
2- ÁREA DO PARALELOGRAMO
a) Para calcularmos a área do paralelogramo, multiplicamos a
_____ pela ________. O triângulo com dois lados pontilhados
foi construído pela transposição do triângulo com a altura
pontilhada. Sendo assim, a área do paralelogramo equivale à
área do retângulo.
Altura (h) 2 h x b
Base (b)
3- ÁREA DO TRIÂNGULO
a) Para calcularmos a área do triângulo, utilizaremos o cálculo da área do retângulo. Se nesse retângulo traçarmos uma reta, unindo dois vértices, construiremos dois triângulos. Observe:
Altura (h)
A linha tracejada é uma ________ do retângulo.
Vamos observar como encontrar a área do retângulo.
Altura (h)
Base (b)
Base (b)
Altura (h)
Base (b)
Altura (h)
Base (b)
17
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1- Observe as figuras e responda:
a) Pode-se formar um retângulo com as 2 peças que haviam sido separadas do paralelogramo. Qual é a área do retângulo? ___________ cm² . b) Qual é área do paralelogramo? ___________ cm² . c) O que você conclui das duas áreas? _______________________________________________________________ d) O paralelogramo e o retângulo da figura têm o mesmo perímetro? _______________________________________ ______________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________
Observe o paralelogramo (fig. 1)!
Fig.1 Fig.2
Fig.3
2- Observe as figuras ao lado e responda:
a) Qual é a área do retângulo? _______ m² ou ____________ cm² .
b) Qual é área do paralelogramo? _____ m² ou ____________ cm² .
c) O que você conclui das duas áreas? ____________________. Por quê?
______________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________
d) Quanto ao perímetro do paralelogramo e do retângulo, podemos afirmar que são ___________________ .
1cm
1cm
Você sabia que, decompondo uma figura, fica mais fácil calcular a sua área?
18
6 m
4m4 m
6m
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3- Observe as figuras e responda:
a) Qual é a área do triângulo retângulo? ___________ cm² .
b) Qual é área do triângulo isósceles? ___________ cm² .
c) Qual é área do triângulo escaleno? ___________cm².
d) O que você conclui das três áreas? Justifique.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
e) E os perímetros são iguais? ________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
1cm
1cm
19
Para calcularmos a área de paralelogramos, trapézios e triângulos, devemos sempre prestar atenção às bases e às alturas!!! As alturas são relativas às bases que são escolhidas.
!!! FIQUE LIGADO
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Se a área do retângulo é a _______________ e a base do retângulo é igual à
_____________ do losango e a altura do retângulo é a metade da _______________ do
losango, então a área do retângulo é igual ________________________ X a metade da
_______________.
Dessa forma, concluímos que a área do losango é dada pela fórmula : AL =___
2 d x D
Diagonal maior
Diagonal menor
4- ÁREA DO LOSANGO Observe que as peças (4 triângulos) que compõem o losango se encaixam perfeitamente na composição de um retângulo.
1 2 3 4
4 3 21
5- ÁREA DO TRAPÉZIO
Observe que a figura abaixo é formado por 2 trapézios iguais, que se encaixam formando um paralelogramo.
Base maior
Altura (h)
Base menor
A área da região limitada pela figura formada (paralelogramo) é calculada
multiplicando-se a ____________.E como no paralelogramo formado por
estes dois trapézios a base é (B + b) , temos que a área da região que tem a
forma de trapézio é :_____________
Base menor
Base maior
Altura (h)
(B + b) Medida da base
Fórmulas das áreas das principais figuras planas
quadrado = l2
retângulo = b x h
triângulo =
losango =
trapézio =
paralelogramo = b x h
2 ).( h bB 2 d x D 2 h x b
!!! FIQUE LIGADO
2 ).( h bB
+ =
20
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1- Observe as medidas das duas figuras representadas ao lado. As medidas dos lados indicam ____m.
a) As duas figuras têm lados de medidas iguais? ______
b) As duas figuras têm o mesmo perímetro? _____ E as áreas, também são iguais? _______
c) A área do quadrado é de _____ m².
d) Qual é a medida da menor e da maior diagonal do losango ao lado? ______ m e ______ m.
e) A área do losango é de ______ m².
5 m
5 m
5 m
1cm
1cm
2- Observe o trapézio ao lado e responda:
a) A base menor mede _________cm.
b) A base maior mede ________ cm.
c) Fazendo a média das bases: (_____ + _____) : 2 = ______
d) Então, a área do trapézio é de ______ x ____ = _____ cm².
5 m
5 m
5 m
5 m
5 m
3 – Num trapézio isósceles a base maior mede 14 cm a base menor 6 cm e sua área 30 m². Calcule a altura desse trapézio.
21
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Cálculos:
22
2 .h b) (B
2 b.h B.h
2 b.h
2 B.h
A
Também podemos encontrar a área do trapézio, da seguinte forma traçar uma _________ no trapézio,
dividindo-o em ___ triângulos. Observe
Base menor
Base maior
Temos agora dois triângulos, um de base B ( ____________) e
altura h e outro de base b ( _____________ ) e altura também h.
Somando – se as duas áreas destes triângulos temos a fórmula da
área do trapézio.
4- Resolva as atividades a seguir:
a) Qual é o perímetro do terreno representado ao lado?
b) Calcule o perímetro de um terreno de forma retangular
que tem 25,5 m de comprimento e 13,5 m de largura.
c) Se o perímetro de uma praça retangular é 122 metros e o menor
lado dessa praça mede 26 metros quanto mede o maior lado?
d) Qual a área de uma praça retangular de 42 metros de
comprimento por 30 metros de largura?
27 m
27 m
Altura (h)
1
2
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5- Calcule a área dos triângulos a seguir:
a)
1,5 cm
23
6- Calcule a área dos paralelogramos abaixo: a) b)
d)
c)
6,2 cm
8 cm
4 cm
4,2 cm
b)
15 cm
8 cm
Multirio
3 cm
6 cm
12 cm
6 cm
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
7- Determine a área sombreada da figura a seguir, considerando cada unidade quadrada, como 1 m2.
8 - Juca fez um desenho em uma malha quadriculada, conforme a figura abaixo. Se Juca fizer um novo desenho desta mesma figura, porém com os lados duplicados, o que acontecerá com o perímetro dessa nova figura? E o que acontecerá com a área da nova figura? a) ( ) O perímetro ficará multiplicado por 2 e a área por 2. b) ( ) O perímetro ficará multiplicado por 4 e a área por 2. c) ( ) O perímetro ficará multiplicado por 4 e a área por 4. d) ( ) O perímetro ficará multiplicado por 2 e a área por 4.
24
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Você sabe o que é um prisma?
Sim! E caso você não saiba o que é , eu posso ajudá-lo a construir um, o que acha?
Acho ótimo!
Desenhe em uma cartolina uma figura semelhante à da página em estudo.
Seu Professor de Artes poderá auxiliá-lo, nesta tarefa, pois assim você será muito bem orientado 1 – Recorte sobre todo o contorno da figura.
2 – Dobre todos os traços pretos.
3 – Construa o prisma.
No prisma que você construiu:
- As regiões internas dos retângulos (1), (2), (3), e (4) são chamadas FACES LATERAIS do prisma.
- As regiões (5), (6) são chamadas BASES do prisma.
- As interseções de duas faces são chamadas ARESTAS.
- O prisma é classificado pelo polígono de uma de suas bases.
-As interseções de duas arestas (quando existir), é sempre um ponto, e estes pontos são chamados VÉRTICES.
5
3
4
2
1
6
Agora, responda:
a) Quantas faces tem o prisma que você construiu? ____
b) Quantas arestas tem o prisma que você construiu? ____ c) Quantos vértices tem o prisma que você construiu? ____ 25
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Você percebe alguma relação entre os números de vértices, faces e arestas destes sólidos geométricos?
PRISMA TRIANGULAR RETOCUBO PARALELEPÍPEDO RETO
POLÍGONO DE 10 LADOS
HEXÁGONO
PENTÁGONO
QUADRILÁTERO
5TRIÂNGULO
V Número de vértices
A Número de arestas
F Número de faces
Prisma cuja base é
9 6
V + F – A = __
6 + 5 – 9 = 2
26
1- Vamos completar a tabela?
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Para calcular o volume de um cubo e de um paralelepípedo, basta ____________
as medidas de suas arestas.
Paralelepípedo Volume =________ x ____________x _______ V = ___x ___x ___
Cubo Volume =________ x ____________ x ________ V = ___ x ___ x ___.= ___
Afinal de contas, o que é volume?
É a quantidade de espaço ocupada por um corpo.
E como se mede o volume? Sua unidade no sistema internacional de unidades é o metro cúbico (___).
Para entendermos melhor, um paralelepípedo reto com 5 cm de largura, 10 cm de
comprimento e 8 cm de altura tem volume igual a : V = ___ x ___x ___= _______
Já um cubo com 6 cm de aresta tem volume igual a : V = ___ = ______
E mais alguma coisa sobre cubos e paralelepípedos?
VOLUME DE UM CUBO Aresta x aresta x aresta = a3
.
O cubo é um prisma que tem as suas faces com medidas iguais. O cubo tem os seguintes elementos: • 6 faces, que são quadradas; • 12 arestas iguais, que são segmentos de reta; • 8 vértices, que são as interseções das arestas.
VOLUME DE UM PRISMA RETO
Àrea da base x altura =
V= Ab x h = a x b x c
comprimento
altura
a
b
c
VOLUME DE UM CUBO Aresta x aresta x aresta = a3
!!! FIQUE LIGADO
27
No momento isto é o mais importante, para resolução das atividades.
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
1 - Cite alguns exemplos de objetos que sugerem as figuras de cubos e paralelepípedos retos.
______________________________________________________________________________
2 - Um dado de jogos de tabuleiro representa um cubo de 3,5 cm de aresta. Qual é o volume deste dado?
____________________________________________________________________________________________
28
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
3 - Um paralelepípedo reto possui medidas 3 cm, 4 cm e 7 cm para a largura, comprimento e altura, respectivamente. Determine o volume desta figura.
______________________________________________________________________________________________
4 - Um reservatório de água tem a forma cúbica e volume de 1000 litros. Sabendo que 1 dm³ = 1L, qual a medida em metros da aresta desse reservatório? (Sugestão: monte o esquema para conversão de unidades cúbicas.)
5 - Calcule o volume de uma caixa de fósforos que tem a forma de um paralelepípedo retângulo e cujas dimensões são 4,8 cm, 1,7 cm e 3,5 cm.
6- O volume de um paralelepípedo reto (figura abaixo) é de 66 cm³. Sabendo que sua base mede 4 cm e sua largura mede 3 cm, calcule a medida de sua altura.
comprimento a
b
c
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
O lado do quadradinho mede 1 unidade, então a sua área é de
___ cm X ___ cm = ___ cm².
Se a área de cada quadradinho é 1cm², vamos indicar quantos quadradinhos cabem em cada figura que compõe o TANGRAM e qual a área de cada uma dessas figuras:
• triângulo grande: cabem _____ quadradinhos ou _____ cm². • triângulo médio: cabem _____ quadradinhos ou _____ cm². • triângulo pequeno: cabem _____ quadradinho ou _____ cm². • quadrado: cabem _____ quadradinhos ou _____ cm². • paralelogramo: cabem _____ quadradinhos ou _____ cm².
Oba! Vamos trabalhar com TANGRAM!
O que é mesmo TANGRAM?
É um quebra-cabeça de origem chinesa, formado por 7 peças poligonais com as quais podem-se formar milhares de figuras diferentes. Veja!
As regras são: construir figuras utilizando todas as 7 peças do TANGRAM. Vamos recortar, montar o TANGRAM da próxima página e brincar!
Huuum, é mesmo! Tem 7 peças. Sendo elas: ___ quadrado, ___ paralelogramo e um total de ___ triângulos, sendo dois desses grandes, dois pequenos e um médio.
29
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
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ensinarevt.com Galeria.colorir.com
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
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Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Considerando como unidade de área um triângulo pequeno recortado do seu TANGRAM, coloque-o sobre cada peça. Confira quantos desses triângulos seriam necessários para cobri- las. Agora, complete a tabela ao lado:
• Se a área de cada triângulo pequeno é 1cm², a área do triângulo médio é ____ cm².
• Se quiséssemos cobrir todo o TANGRAM com pecinhas em formato de triângulos pequenos, precisaríamos de ____ peças.
• Mas se quiséssemos cobrir todo o TANGRAM com pecinhas em formato triangular médio, precisaríamos de ____ peças.
FIGURA
QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS PEQUENOS
QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS MÉDIOS
triângulo pequeno
triângulo médio
triângulo grande
quadrado
paralelogramo
TANGRAM completo
Então, quanto menor for a peça que estivermos usando para cobrir a figura, de _________ (menor/maior) quantidade de peças vamos precisar. E quanto maior for a peça usada para cobrir a figura, __________ (menor/maior) quantidade de peças vamos precisar.
Veja! Você reparou que quando dobramos o tamanho do triângulo, precisamos usar _______________da quantidade de triângulos para formar a figura pedida? (dobro/metade)
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Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
FIGURA ÁREA PERÍMETRO
A - TANGRAM 16u
B
C
D
a a b
Com as peças do seu TANGRAM, junte-se a um colega e tente montar as figuras ao lado. Indique como foram montadas. Se precisar, seu Professor irá auxiliá-lo.
A
B D
a a
b
Considerando como unidade de área um triângulo pequeno, monte as figuras utilizando as peças do seu TANGRAM para medir e indicar na tabela a área de cada uma delas: A, B, C e D. Todas compostas pelas 7 peças do quebra-cabeça.
Vamos expressar também, na tabela, o perímetro aproximado das figuras B, C, D e do TANGRAM (A) em função dos lados do triângulo pequeno. Observe as medidas do triângulo!
2
1
4
3
5
6
7
3
2
7
4
6
1
5
5
6
3
4
7
1
2
2
1 375
6
4
2a
b
b
4a-2b
b
b
b
2b
b
b
2a
2a
a
2a2a
a
2a2a
4a
2a
2a
b
b b
b
b
2b
2b
b
b
2a
b b
2b
2b
b
C
2ab
a
2a
ba
b
b
4a-2b
33
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Vamos praticar um pouco mais sobre um assunto que já vimos no 7.º Ano e, também, no primeiro bimestre?
1 - Considere que a reta numérica abaixo indica os marcos de uma rodovia e que os valores nos intervalos entre uma marcação e outra estejam sendo indicados em quilômetros.
Um carro partindo do km 0, terá se deslocado quantos quilômetros nos pontos:
0 1 2 3 7 8 9 4 5 6
A B C D E
a) A = _______ b) B = _______ c) C = _______ d) D = _______ e) E = _______
Em uma eleição de uma pequena cidade onde concorreram apenas dois candidatos, na apuração, verificou-se que
dos 2 400 eleitores, dos eleitores votaram no candidato A , votou no candidato B , foram anulados e
dos eleitores votaram em branco. Qual o número de eleitores que deixaram de votar?
Candidato A 5 __
Temos que reduzir as frações a um mesmo denominador comum, pode ser o denominador 20 , ou um outro múltiplo comum.
Assim , ; ___ ___ 4 1 ; ___ ___ 5 2
5 2
4 1
10 1
20 1
Candidato B __ 1
Votos nulos 10 __
Votos em branco __ 1
.
___ ___
20 1
;
___ ___
10 1
Logo , ___ ___ ___ ___ 20 20
___ ___
20 2
___ ___
34
Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
2- Entre que números inteiros fica o número irracional ?
Como já vimos o que é um número irracional no bimestre anterior que tal realizar algumas atividades para relembrá-los?
1- Ordenando os números 1, , em ordem crescente, como ficaria esta sequência? 9 e 5 4, 2, ,2,7,3
35
Já que estamos falando em números irracionais, não podemos esquecer do PI, que é um número muito famoso.
Afinal de contas, que número é esse?
Se num círculo qualquer, tomarmos a medida de sua circunferência e dividirmos pela medida de seu diâmetro, encontraremos sempre um número constante, e este número de infinitas casas decimais recebe o nome de PI e é representado pela letra grega .
Diâmetro é um segmento de reta com origem na circunferência (corda) que passa pelo seu centro.
Logo, as raízes são números entre 2 e 3. No entanto, por mais que tentemos nunca chegaremos aos valores exatos desses números.
Assim, ____, ____, ____, ____ são exemplos de números irracionais.
Sabemos que:
9 8 7 6 5 4 . Isto quer dizer que 3 8 7 6 5 2
...
Diâmetro O
Boa ideia!
Multirio
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Matemática -8.ºAno 2.ºBIMESTRE / 2013
Em situações que queremos calcular o valor numérico de uma expressão algébrica , temos como informação nos exercícios, o(s) valor(es) numérico(s) da(s) letra(s).Veja abaixo:
(x + 4) + 2y , para x = 2 e y = 4. Substituindo cada letra pelo valor informado, temos:
2(3x – 1 ) + 7y(x + 2) , para x = 3 e y = 5.
2(3.__ – 1 ) + 7.__ (__ + 2) = 2 ( __ – 1) + 35. (5) = 2 . __ + 35 . 5 = 16 + __ = 191.
( __+ 4) + 2.__ = __ + __ = __ 2
Muito bem! Que tal agora praticar um pouco? Mostre que compreendeu e resolva a atividade da próxima página.
Expressões algébricas são aquelas que têm letras e números e são ligados por operações de adição, de subtração e de multiplicação). Mas como devo proceder para fazer cálculos com essas letras?
Entendi! Eu apenas troco as letras pelo _______________________ informado e resolvo como se fosse uma expressão numérica, respeitando as regras de resolução de expressões.
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1- Calcule o valor numérico das expressões abaixo:
a) 4. y e 1 x para , y 2 x3 2
.3 c e 2 a 4, b para , 4ac b 2 b)
c)
d)
.5 y e 2 x para ,y x 3
3 x para ,3x x 2
!!! FIQUE LIGADO
Expressão algébrica é composta por letras e números ligados pelos sinais de operação. Exemplos:
3x o triplo de um número.
x+1 o sucessor de um número inteiro. (a+b)2 o quadrado da soma de dois números.37
AGORA, É COM VOCÊ
!!!
2- Calcule o valor numérico de cada expressão algébrica abaixo:
a) 2x + 7y, para x = 3 e y = 1.
b) x2 – 2x + y, para x = 3 e y = 2
c) 7(x + 4) – 2y – 5z, para x = 1,y = 2 e z = 4.
d)
e)
4. z e 7y , 36 xpara , z7y x
1. y e 1 xpara , z7
2 3y
3 x2
20. y e 3 x para 1, 4y x3 f) 3
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Você sabe o que é um monômio? Dê um exemplo. Sim, é uma expressão algébrica. Observe: 3ab2, 4m, 3x3- 2y, a2...
Não possui
ab
xy²- 8 ab1313ab Parte LiteralCoeficienteMonômios
ab
7 7
0,18y3
!!! FIQUE LIGADO
Monômio ou termo algébrico é toda expressão algébrica que representa apenas multiplicações de números e letras.
Ex: 8x ; 5x² ; 2x ; 3 ; 4y ; 2z ; 7m.
Polinômio é toda expressão algébrica formada por um ou mais monômios.
Polinômios com dois termos (dois monômios) são chamados de ________ e polinômios com 3 termos (três monômios) são chamados de _________ .
Para reconhecê-los, primeiro reduzimos os termos semelhantes, quando existirem. Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal. 38
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Mas o que são termos semelhantes em um polinômio?
Boa pergunta! São termos que apresentam partes literais iguais, ou quando são apenas números.
1- Vamos analisar dois casos de polinômios que tem termos semelhantes e vamos reduzir, operando com esses termos semelhantes:
3x² + 5x + 2x² = 3x = ( __+ __ ) x² + ( __ + __ ) x = __ x² + __ x
2x²y³ + 6x + 3y + 8x²y³ + 2x – y = ( __+ __ ) x²y³ + ( __+ __ ) x + ( __ – __ ) y =
10x²y³ + 8x + 2y
Que tal agora realizarmos algumas atividades para fixar o que aprendemos?
2- Classifique como monômio, binômio ou trinômio os polinômios abaixo:
a) 3x – 1 __________ d) 2x + 7 ________
b) 9x²y³z __________ e) 3x² + 7x – 4 _______
c) 3x + 2y – 5 _________ f) ________
3 – Reduza os termos semelhantes e classifique os polinômios em: monômio, binômio ou trinômio.
a) 7x + 3y + 2x + 5y + 3
4 x
!!! FIQUE LIGADO
.
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
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1- Se temos dois monômios, semelhantes ou não, podemos obter um novo monômio pela multiplicação dos dois. Para realizarmos esta operação, usamos as propriedades da multiplicação e da potenciação. Observe:
9x² . ( 5x³) = (9 . 5) .( x² . x³) = 45
5x
2- Se temos dois monômios, sendo o segundo diferente de zero, podemos dividir o primeiro pelo segundo. Caso na divisão existam variáveis iguais, usamos a propriedade da divisão de potências de mesma base. Observe:
Resolva: a) 3 a . (-4b) =_______________________________
b) (5x) . (6x) =_______________________________
x²31.x.3
y y
.
x x³
.
7 21
7xy yx21 1 -3 3
3- Simplifique:
5x 30x
a)
4
15b 5a b)
222
32
cb4a bc20a
d)
222 32 zy4x- yz40x-
c)
(-13x) : 26x³ e)
(-5a²x) : 8a³x³ f)
Multiplicamos as partes numéricas e as partes literais.
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1- A soma de um número com o seu triplo resulta 36.Que número é esse?
2 – Marta comprou 2 kg de arroz e 3 kg de feijão, sendo que o kg do feijão é R$ 2,00 mais caro que o kg do arroz. Sabendo-se que Marta gastou R$ 16,00 no total da compra, qual o preço do kg do arroz? E do feijão?
3 – Verifique se x = 3 é raiz da equação 2x + 4 = 0. Em caso negativo, calcule a raiz desta equação.
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4 – Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas, em graus, dadas por : a = 8x + 3 e b = 10x – 7. Qual é o valor de x?
: 8x + 3 10x – 7
5 – O triplo de um número, menos 21 é igual ao próprio número mais um. Qual é esse número?
6 - A diferença entre um número e sua terça parte é igual a 38. Qual é esse número?
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7– Alfredo foi ao shopping e comprou uma blusa e uma calça jeans, sendo que o preço da calça era o triplo do preço da blusa. Se Alfredo gastou no total R$ 130,00, qual o preço da blusa? E da calça jeans?
8– Um terreno retangular tem em sua largura 5 metros a menos que o seu comprimento . O perímetro do terreno é de 42 metros. Quais as medidas da largura e do comprimento do terreno?
9– A base de um triângulo isósceles tem 4 cm a mais que os outros dois lados . Se o perímetro desse triângulo é de 28 cm, determine as medidas dos seus lados.
10– Em uma partida de videogame, Aurélio conseguiu 160 pontos em três rodadas. Na 2.ª rodada, ele fez 20 pontos a menos do que na 1.ª rodada, e, na 3.ª rodada, ele fez o triplo de pontos feitos na 2.ª rodada. Quantos pontos Aurélio fez em cada rodada?
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Preciso comprar 5 garrafas de suco dentre caju e uva. De quantas maneiras posso fazer isso?
Já tenho uma ideia de como fazer isso.
Sua ideia parece boa. No entanto, você quer saber de quantas maneiras e não qual a maneira. Isso significa que a equação que você criou para a situação-problema tem mais de uma solução.
Tente verificar quantas são as soluções.
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Se chamarmos o número de garrafas de suco de caju de x e de y o número de garrafas de suco de uva, como são 5 garrafas, temos a igualdade x + y = 5.
Continua
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Se chamarmos o número de garrafas de suco de caju de x e de y o número de garrafas de suco de uva, como são 5 garrafas, temos a igualdade x + y = 5. Observe a tabela abaixo.
______ ____4 ______ __3__ ______
550 x + yyx
1
Então, são ___ maneiras diferentes.
Parabéns! Neste caso, o problema tem 6 soluções, mas ainda assim um número determinado de soluções.
Falando assim, parece até que existem equações que tem infinitas soluções.
E existem!!!
Como? Imagine só esta equação x + y = 5 e os números racionais para resolvê-la.
Vejamos :x + y = 5 ; com x e y pertencendo ao conjunto dos números racionais . ( x,y Q). Numa tabela, as soluções podem ser as da tabela anterior, e também muitas outras.
____- 3 ______ ____ ______ 550 x + yyx 1,4 3,8 3,75No conjunto dos números racionais, as possibilidades são infinitas, porque podemos “ diminuir um pouco” um valor e “aumentar um pouco” o outro. Equações que possuem uma infinidade de soluções são chamadas de equações indeterminadas. !!! FIQUE LIGADO
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Então, uma equação pode ter uma ou mais soluções. Até mesmo uma infinidade. E com soluções impossíveis?
Responda você, a partir da situação a seguir.
O triplo de um número mais 7 é igual ao seu triplo mais 11.
Esta equação é impossível, pois não existe nenhum número que multiplicado por zero dê 18.
Classifique as equações como possíveis, indeterminadas ou impossíveis.
a) 2x = 3 + 7
b) –5 + 3x + 8 = 11 + 3x - 8
c) 3b + m – 3b – m = 21
d) 4 + 2K = 2( K + 2)
e) 0.x = 13
f) 9 x 2 3
AGORA, É COM VOCÊ !!!
18 0x 7 11 3x 3x __ 3x __ x 3
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No finais de semana, uma empresa de ônibus opera com apenas 30% da capacidade de sua frota.
O gráfico a seguir representa esta situação. Este gráfico é conhecido como gráfico de __________( barras - setores)
Portanto, temos uma correspondência entre esses fatos.
Para bem construir um gráfico de setores, levamos em conta que o total em percentual é expresso por ____ , e que o ângulo de uma volta vale 360º.
100% ------------- 360º
30% -------------- x
108º 3 . 36
100 ___ . 360
X
30 . 360 X . 100
Então,
O valor de cada setor representado é proporcional às respectivas medidas dos ângulos (1% no gráfico de setores equivale a 3,6º).
108º
252º
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1- Sabendo que o gráfico a seguir transmite a informação de que, em um dia de semana, esta empresa de ônibus operou com apenas 90% de sua frota, qual o valor do ângulo referente a parte pintada?
2 – Uma pesquisa feita sobre consumo de biscoitos mostrou que 25% dos entrevistados consome a marca A , 30% a marca B e os 45% restante, a marca C. Sabendo que cada um dos entrevistados consome uma única marca, faça um gráfico de setores dessa pesquisa, indicando o valor dos ângulos correspondentes aos setores de cada marca no gráfico.
AGORA, É COM VOCÊ !!!
324º
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3 - Se pintarmos uma região do círculo limitada por um ângulo de 270º, qual a porcentagem desta área que ficou pintada?
4- O gráfico de “pizza” é também chamado de gráfico de
a) barras. b) histograma. c) setores. d) linhas.
O gráfico de barras é um tipo de gráfico que expressa a relação entre duas ____________. (porcentagens/ grandezas)
Sérgio quer saber, no final da pesquisa, o perfil de sua turma em relação aos esportes. Sua turma tem 45 alunos que praticam vôlei, futsal ou basquete. Sérgio obteve as respostas: Vôlei 17; Futsal 20; Basquete 12. Com a intenção de apresentar as informações e fazer uma comparação, ele apresentou o gráfico a seguir:
R: ________
Esportes
Neste gráfico, é fácil perceber que mais pessoas jogam Futsal, pela altura da barra em comparação com os outros esportes.
Nº de pessoas
10
15
20
B a s q u e t e F U T S A L
B A S Q U E T E
V O L E I
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AGORA, É COM VOCÊ !!!
2 – Construa um gráfico de barras para a situação a seguir.
Foi realizada uma pesquisa sobre os livros mais lidos da escola, obtendo os seguintes resultados: • Matemática – 30; • História – 24; • Literatura – 35; • Biologia – 27.
Resposta
1 – Um pesquisador montou um gráfico de barras para registrar a preferência das pessoas entre as marcas A, B, C ou D de um produto de limpeza, mas ele esqueceu de indicar o número de pessoas para cada marca.
Então, após análise do comportamento do gráfico, verifica-se que a marca preferida pelos consumidores é a ____. E a marca mais rejeitada é a _____.
B a s q u e t e
Nº de pessoas
Marcas
C
A
B
D
50
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Gráfico de linhas
Em uma escola, foi registrada a frequência de alunos em sua biblioteca durante todo o ano letivo e a partir dos registros obtivemos o seguinte gráfico :
30
35
50
45
N.º DE ALUNOS
40
2.º1.º 3.º 4.º
Observe e analise as informações do comportamento deste gráfico e registre nas lacunas:
1.º- Do primeiro para o segundo bimestre, o número de alunos frequentando a biblioteca _________. (diminuiu/ aumentou)
2.º- Do segundo para o terceiro bimestre, o número de alunos frequentando a biblioteca _________. (aumentou/ diminuiu)
3.º- No quarto bimestre, ___ alunos frequentaram a biblioteca.
4.º- O terceiro bimestre foi aquele com______ frequência de alunos. ( maior – menor).
MESES
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a) 7x3 + 3x2 - 3 + 8x2 - 3x3 + 19
y5x ²y8x .x7 ) e 4 32
1- A largura e o comprimento de um terreno têm suas medidas representadas por x + 11 e 3x , respectivamente. Qual é a representação através de polinômio, do perímetro e da área desse terreno?
2) Reduza os termos semelhantes:
c)
b) 8xy2 – 2xy + 3xy2 + 4xy + 11
d)
5a² 5a + 2a – 12a² –
4m² + 3m - 8 + 2m² - m - 1
x + 11 x + 11
3x
3x
Multirio
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1- Represente através de polinômio:
a) um número par.
__________________________
b) um número ímpar.
___________________________
2- Sérgio comprou uma certa quantidade de bolas de gude. Quando comparou com a quantidade de João, percebeu que tinha 5 bolas de gude a menos. Como Sérgio pode representar a sua quantidade de bolas de gude em relação às de João? E estas quantidades juntas?
3- Observe o desenho abaixo, que representa a vista da frente de uma casa. Que expressão nos fornece o perímetro desse desenho? Tal expressão é um monômio ou um binômio?
3x
2x + 0,5
x x
2x + 0,5
4- Classifique como monômio, binômio, trinômio:
a) 2x + 7 _________________ c) 3x² + 7x – 4 ____________________
b) _________________ d) 7x²y³z ____________________ 4 x
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5- Considere as situações a seguir e forneça as expressões algébricas correspondentes, classificando-as em monômios, binômios ou trinômios.
a) O perímetro de um quadrado de lado L .
______________________________________________________________________
b) O perímetro de um retângulo de comprimento x e de largura x – 2
______________________________________________________________________
c) O perímetro de um triângulo isósceles com os lados medindo
______________________________________________________________________
d) O volume de um cubo cuja aresta mede 2 k .
______________________________________________________________________
4) y ( e 4) y ( , y²
6- Crie uma situação que pode ser resolvida pela equação:
a) 12 x + 5 = 89
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
b) 5x – 7 = -2x
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
c) 150 = 8 x
______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 54
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